Interpolation of Rotations and Coupling of Patches in Isogeometric Reissner-Mindlin Shell Analysis

• Interpolation von Rotationen und Kopplung von Patches im Rahmen der isogeometrischen Analyse von Reissner-Mindlin-Schalen

Dornisch, Wolfgang; Klinkel, Sven (Thesis advisor); Bischoff, Manfred (Thesis advisor); Gruttmann, Friedrich (Thesis advisor)

Aachen : Lehrstuhls für Baustatik und Baudynamik der RWTH Aachen (2015, 2015)
Buch, Doktorarbeit

In: Schriftenreihe des Lehrstuhls für Baustatik und Baudynamik der RWTH Aachen 2015,03
Seite(n)/Artikel-Nr.: XII, 229 S. : Ill., graph. Darst.

Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Entwicklung einer effizienten und robusten isogeometrischen Reissner-Mindlin-Schalenformulierung. Die grundlegende Annahme bei Schalentheorien ist eine Dimensionsreduzierung des dreidimensionalen Kontinuums auf eine zweidimensionale Fläche im dreidimensionalen Raum. Somit wird die Geometrie durch eine Referenzfläche in Verbindung mit einem Direktor-Vektor-Feld beschrieben. Die Ausdehnung in Dickenrichtung wird durch die Direktor-Vektoren definiert. Das Hauptziel der isogeometrischen Analyse ist es, die gleiche Modell-Beschreibung für Entwurf und Berechnung zu verwenden. Dünnwandige Strukturen werden in Entwurfsprogrammen durch eine Referenzfläche mitsamt zugehöriger Dicke beschrieben. Somit kann durch die Verwendung isogeometrischer Schalenelemente die aufwändige Umrechnung in Volumen-Geometriebeschreibungen vermieden werden.Die Verwendung von NURBS-Flächen (Non-Uniform Rational B-splines) kann zu hoher Kontinuität an den Elementgrenzen führen. Dies erfordert ein Überdenken aller Konzepte, die in konventionellen Schalenelementen, welche auf linearen Lagrange-Basisfunktionen basieren, verwendet werden. Die in dieser Arbeit vorgestellte Schalenformulierung ist aus der Kontinuumstheorie hergeleitet und verwendet eine orthogonale Drehung, welche durch den Drehtensor nach Rodrigues beschrieben wird, zur Berechnung des Direktor-Vektors in der Momentankonfiguration. Große Verformungen und endliche Verdrehungen können präzise beschrieben werden.Für die Diskretisierung werden Direktor-Vektoren in den Knoten benötigt. Diese sollen die Normalenvektoren so genau wie möglich interpolieren. Eine neue Methode zur Bestimmung von Knoten-Basissystemen und Knoten-Direktor-Vektoren wird hergeleitet. Darauf aufbauend wird ein Kriterium vorgeschlagen, welches eine automatische Bestimmung der passenden Anzahl von Rotationsfreiheitsgraden für jeden Knoten ermöglicht. Dadurch sind stabile Berechnungen von Geometrien mit Knicken möglich, ohne dass die Verwendung von Methoden zur Drill-Rotations-Stabilisierung oder ein manueller Eingriff des Benutzers notwendig sind.Die Herleitung verschiedener Konzepte für die Interpolation des Direktor-Vektors in der Momentankonfiguration stellt den Hauptteil dieser Arbeit dar. Die Momentankonfiguration des Direktor-Vektors ist eine Funktion des Verdrehzustands. Die jeweiligen Konzepte unterscheiden sich durch die Größe, welche interpoliert wird, sowie durch die gewählte Update-Formulierung für die Verdrehungen. Der Einfluss jedes Konzepts auf das globale Deformations-Konvergenzverhalten wird mit Hilfe von numerischen Beispielen untersucht. Die Ergebnisse legen nahe, dass ordnungsgemäßes Konvergenzverhalten für alle Grade von NURBS-Basisfunktionen nur erreicht werden kann, falls interpolierte Direktor-Vektoren verdreht werden. Konzepte dieser Art sind genauer und aufwendiger als Konzepte, die Knoten-Direktor-Vektoren verdrehen. Aber der höhere Berechnungsaufwand zahlt sich bei Geometrien mit beliebiger Krümmung und bei Basisfunktionen höheren Grades aus. Geometrien mit Knicken erfordern eine multiplikative Update-Formulierung für die Verdrehungen, falls ein Konzept verwendet wird, das interpolierte Direktor-Vektoren verdreht.Drei verschiedene Integrationsregeln werden in den numerischen Beispielen berücksichtigt. Neben vollständiger und reduzierter Integration nach Gauß wird auch ein neues nicht-gleichförmiges Integrationsschema in Anlehnung an Adam et al. (2015) untersucht. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf der gegenseitigen Beeinflussung von gewähltem Rotationskonzept und Integrationsschema. Die Reduzierung der Anzahl der Integrationspunkte von vollständiger zu reduzierter Integration führt zu einer leichten Verminderung von Versteifungseffekten. Die weitere Verringerung durch die Anwendung des nicht-gleichförmigen Integrationsschemas führt bei manchen Beispielen zu einer erheblichen Reduzierung von Versteifungseffekten. Dies führt jedoch nur zu höherer Genauigkeit falls ein Konzept verwendet wird, das interpolierte Direktor-Vektoren verdreht. In anderen Fällen führt die Verringerung von Versteifungseffekten zu einer Abnahme der Genauigkeit der Verschiebungsergebnisse. Die Effizienz der vorgestellten Schalenformulierung wird anhand der Berechnungskosten, die zum Erreichen eines vordefinierten Fehlerniveaus notwendig sind, mit konventionellen Schalenformulierungen verglichen. Hierbei zeigt sich, dass die effektivste Kombination von Integrationsschema und Rotationskonzept konkurrenzfähig zu konventionellen Schalenformulierungen ist.Ein weiteres Hauptanliegen dieser Arbeit ist die Herleitung einer Mortar-Methode zur Kopplung nicht-konformer NURBS-Flächenpatches. Methoden zur Berechnung nicht-konformer Patches ohne gegenseitige Netzverfeinerung sind unerlässlich für eine wirtschaftliche Anwendung von NURBS-basierten isogeometrischen Methoden. Das vorgestellte Verfahren basiert auf einer Substitutions-Beziehung, welche aus der schwachen Erfüllung der Gleichheit der gegenseitigen Verschiebungen entlang der Verbindungslinie hergeleitet wird. Mit Hilfe dieser Beziehung kann durch eine statische Kondensation das globale Gleichungssystem gekoppelt werden. Die Variationsformulierung wird nicht verändert und die globale Steifigkeitsmatrix bleibt positiv definit. Anhand numerischer Beispiele wird die Anwendbarkeit der Methode aufgezeigt. Die Ergebnisse werden mit Referenzergebnissen und mit Berechnungen mit der Lagrange-Multiplikator-Methode verglichen. Die Anwendbarkeit der Kopplungs-Methode für die vorgestellte Reissner-Mindlin-Schalenformulierung wird mit Hilfe zweier nichtlinearer Beispiele gezeigt.