Locking and brittle fracture in isogeometric Reissner-Mindlin plate and shell analysis

Kikis, Georgia; Klinkel, Sven (Thesis advisor); De Lorenzis, Laura (Thesis advisor); Dornisch, Wolfgang (Thesis advisor)

Aachen : Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen, Fakultät für Bauingenieurwesen, Lehrstuhl für Baustatik und Baudynamik (2022)
Buch, Doktorarbeit

In: Schriftenreihe des Lehrstuhls für Baustatik und Baudynamik der RWTH Aachen 15 (2022)
Seite(n)/Artikel-Nr.: 1 Online-Ressource : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit zwei zentralen Themen, der Behandlung von Versteifungseffekten im Rahmen einer isogeometrischen Reissner-Mindlin-Schalenformulierung und der korrekten Beschreibung des spröden Bruches in Reissner-Mindlin Platten und Schalen mit Hilfe eines Phasen-Feld Modells. In beiden Fällen wird die Geometrie durch die Mittelfläche der Struktur repräsentiert und mit Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) Funktionen interpoliert, die im Bereich des CAD sehr verbreitet sind. Ein Direktor-Vektor-Feld wird benutzt, um die Dickenrichtung zu beschreiben. Da nur kleine Verformungen betrachtet werden, wird der Direktor-Vektor durch eine Differenzvektorformulierung berechnet. Zusätzlich zu den drei Verschiebungen werden zwei Rotationsfreiheitsgrade, die die Querschubeffekte erfassen, definiert. Bezüglich des ersten Ziels der Behandlung von Versteifungseffekten im Rahmen der isogeometrischen Analyse liegt der Fokus auf den zwei Versteifungseffekten die in der vorliegenden Reissner-Mindlin-Schalenformulierung auftreten, nämlich den Querschubversteifungen und Membranversteifungen. Diese unerwünschten Effekte führen zu einer überhöhten Systemsteifigkeit, einer Unterschätzung der Verformung und Oszillationen in den Spannungsresultierenden. Sie werden ausgeprägter mit abnehmender Dicke, beziehungsweise im Kirchhoff-Limit. In einem ersten Schritt wird eine Methode zur Eliminierung von Querschubversteifungen in Platten und Schalen vorgestellt. Die Methode basiert auf der Tatsache, dass Querschubversteifungen durch eine Unstimmigkeit der Approximationsräume der Verschiebungen und Rotationen in der Kompatibilitätsbedingung der Schubverzerrungen entstehen. Daher werden für die zwei Rotationen angepasste Approximationsräume definiert, und zwar sind ihre Basisfunktionen in Richtung der relevanten Rotation um einen Polynomgrad niedriger als für die Verschiebungen. Die drei unterschiedlichen Kontrollnetze werden aus der gleichen Ausgangsgeometrie mit unterschiedlicher Polynomgrad-Erhöhung erzeugt. Das bedeutet, dass das isogeometrische Konzept immer noch erfüllt ist. Die Netze haben die gleiche Anzahl an Elementen und zusammen formen sie das globale Netz, das für die schwache Form des Gleichgewichts eingesetzt wird. Die Effizienz und Genauigkeit der Methode wird anhand von numerischen Beispielen untersucht. Die Ergebnisse unterstreichen die Überlegenheit der Methode gegenüber der herkömmlichen Reissner-Mindlin-Schalenformulierung die keine Maßnahmen gegen Versteifungseffekte enthält. Oszillationen in den Spannungsresultierenden werden eliminiert und es zeigt sich, dass die Methode konkurrenzfähig zu anderen Methoden ist, die in der isogeometrischen Analyse gegen Versteifungseffekte eingesetzt werden. Die Methode ist außerdem allgemein für jeden Polynomgrad anwendbar und führt im Vergleich zu der herkömmlichen Schalenformulierung zu weniger Freiheitsgraden im Gleichungssystem.In einem zweiten Schritt wird eine gemischte Verschiebungs-Spannungs-Methode basierend auf dem Hellinger-Reissner Variationsprinzip vorgestellt, um sowohl die Membranversteifungen als auch die Querschubversteifungen in Platten und Schalen zu reduzieren. Die Spannungsresultierenden, die mit diesen Versteifungseffekten zusammenhängen werden als zusätzliche Unbekannten berücksichtigt und müssen mit speziell gewählten Basisfunktionen interpoliert werden. In den entsprechenden Richtungen der Spannungskomponenten werden Ansatzfunktionen gewählt, die um ein Polynomgrad niedriger sind als bei den Verschiebungen und Rotationen. Die zusätzlichen Unbekannten, die für die gemischten Formulierungen benutzt werden, werden im Allgemeinen durch statische Kondensation aus dem resultierenden Gleichungssystem eliminiert. Im Gegensatz zu der klassischen Finite Elemente Methode, in der C0 kontinuierliche Ansatzfunktionen benutzt werden, und in der die statische Kondensation auf Elementebene durchgeführt wird, ist das in der isogeometrischen Analyse durch die hohe Kontinuität der Funktionen nicht mehr möglich. Die statische Kondensation muss nun auf Patchebene erfolgen, was die Inversion einer Matrix auf Patchebene beinhaltet und zu einer vollbesetzten Steifigkeitsmatrix führt. Dies wiederum erhöht den Berechnungsaufwand und daher werden zwei lokale Methoden vorgestellt, die statische Kondensation auf Elementebene ermöglichen. Die erste Methode enthält Spannungsresultierenden die diskontinuierlich über die Elementgrenzen definiert sind. Sie führt zu einer dünnbesetzten Steifigkeitsmatrix mit der gleichen Bandbreite wie die herkömmliche verschiebungsbasierte Schalenformulierung. Es zeigt sich, dass diese Methode die Ergebnisse für niedrige Polynomgrade verbessert und durch den niedrigen Berechnungsaufwand besonders attraktiv ist. Aufgrund der Diskontinuität der Spannungsresultierenden werden die Versteifungseffekte jedoch nicht ganz eliminiert und die Ergebnisse werden für höhere Polynomgrade nicht erheblich verbessert. In der zweiten lokalen Methode wird ein Rekonstruktionsalgorithmus benutzt und die lokalen Kontrollvariablen werden gewichtet, um die verschmierten globalen Variablen zu ermitteln. In den numerischen Beispielen wird gezeigt, dass diese Methode fast die gleiche Genauigkeit wie die globale Methode auf Patchebene besitzt, jedoch führt sie im Gegensatz zu dieser zu einer Bandmatrix als Steifigkeitsmatrix und dadurch, dass sie teilweise auf Elementebene definiert ist reduziert sie die Gesamtberechnungskosten. Die gemischte kontinuierliche Methode auf Patchebene und die gemischte rekonstruierte Methode sind konkurrenzfähig gegenüber anderen Methoden, die gegen Versteifungseffekte eingesetzt werden. Das zweite wesentliche Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Phasen-Feld Modells zur Beschreibung des spröden Bruches bei isogeometrischen Reissner-Mindlin Platten und Schalen. Ein kontinuierliches Riss-Phasen-Feld, das auf der Schalenmittelfläche definiert ist und mit NURBS Basisfunktionen interpoliert wird, wird benutzt, um den Übergang zwischen gerissenem und ungerissenem Material zu beschreiben. Da Reissner-Mindlin Formulierungen sowohl für dünne als auch für dicke Strukturen benutzt werden, ist ein Bruchversagen aufgrund von Querschubverformungen möglich. Daher liegt ein besonderer Fokus auf der Einbindung der Querschubverzerrung in das Phasen-Feld Modell. Die spektrale Zerlegung für die Zug-Druck Aufteilung wird auf den gesamten Verzerrungstensor angewandt, der über die Dicke variiert, um ein unphysikalisches Bruchverhalten in Druckbereichen zu vermeiden. Der ebene Spannungszustand kann nicht mehr durch eine einfache Eliminierung der Normalverzerrungen und Normalspannungen in Dickenrichtung aus dem Materialmodell erfolgen, sondern muss numerisch erzwungen werden. In jedem Integrationspunkt über die Dicke wird die Normalverzerrung in Dickenrichtung durch einen lokalen Algorithmus mit quadratischer Konvergenz bestimmt, um die Normalspannung in Dickenrichtung auf null zu bringen. Die Fähigkeit des Phasen-Feld Modells für spröden Bruch die Rissbildung, das Risswachstum und die Rissverschmelzung in Platten und Schalen korrekt darzustellen wird anhand von verschiedenen Beispielen untersucht. Ein Vergleich mit zwei bestehenden Formulierungen, einem 3D Solid und einer Kirchhoff-Love Schale, wird durchgeführt. Es wird gezeigt, dass im Falle von dünnen Platten und Schalen eine gute Übereinstimmung zwischen den drei unterschiedlichen Elementarten zu beobachten ist. In den Fällen jedoch wo Scherung eine entscheidende Rolle spielt, unterscheiden sich die Ergebnisse der Kirchhoff-Love Schale von den anderen zwei da die erstere keine Querschubverformungen berücksichtigt.